题目

题型：不详难度：来源：

如图1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作轴的垂线，垂足分别为S、R．
①求证：PB＝PS；
②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．

答案

⑴解：方法一：
∵B点坐标为(0．2)，
∴OB＝2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF=4.
∴C点坐标为(一2，2)．F点坐标为(2，2)。
设抛物线的解析式为．
其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。
得
解这个方程组，得

∴此抛物线的解析式为   …………    (3分)
方法二：
∵B点坐标为(0．2)，
∴OB＝2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF=4.
∴C点坐标为(一2，2)。 ………    (1分)
根据题意可设抛物线解析式为。
其过点A(0，1)和C(-2．2)
………
解这个方程组，得

此抛物线解析式为
(2)解：

①过点B作BN，垂足为N．
∵P点在抛物线y=十l上．可设P点坐标为．
∴PS＝，OB＝NS＝2，BN＝。
∴PN=PS—NS= ………………………… (5分)
在RtPNB中．
PB＝
∴PB＝PS＝………………………… (6分)
②根据①同理可知BQ＝QR。
∴，
又∵ ，
∴，
同理SBP＝………………………… (7分)
∴
∴
∴.
∴ △SBR为直角三角形．………………………… (8分)
③方法一：

设，
∵由①知PS＝PB＝b．，。
∴
∴。………………………… (9分)
假设存在点M．且MS＝，别MR＝ 。
若使△PSM∽△MRQ，
则有。
即
∴。
∴SR＝2
∴M为SR的中点.………………………… (11分)
若使△PSM∽△QRM，
则有。
∴。
∴。
∴M点即为原点O。
综上所述，当点M为SR的中点时．PSM∽MRQ；当点M为原点时，PSM∽MRQ．………………………… (13分)
方法二：
若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，
∵，
∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM两种情况。
当PSM∽MRQ时．SPM＝RMQ，SMP＝RQM．
由直角三角形两锐角互余性质．知PMS+QMR＝。
∴。………………………… (9分)
取PQ中点为N．连结MN．则MN＝PQ=．…………………… (10分)
∴MN为直角梯形SRQP的中位线,
∴点M为SR的中点 …………………… (11分)
当△PSM∽△QRM时，

又，即M点与O点重合。
∴点M为原点O。
综上所述，当点M为SR的中点时，PSM∽△MRQ；当点M为原点时，PSM∽△QRM………   (13分)

解析

 略