题目

题型：不详难度：来源：

已知：直线y=kx-3与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点C，抛物线y=-x²+mx+n经过点A和点C，动点P在x轴上以每秒1个单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿着线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍。
小题1:(1).求直线和抛物线的解析式；
小题2:(2).如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问t为何值时△PQA是直角三角形。

答案

小题1:(1)．直线：y=x-3；抛物线为：y=-x²+x-3
小题2:(2)．t=或t=

解析

分析：（1）将A点坐标代入直线的解析式中，即可求得k的值，从而确定该直线的解析式；将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，可求得m、n的值，从而确定抛物线的解析式．
（2）根据（1）得到的抛物线解析式，可求得点B的坐标，根据P、Q的运动速度，可用t表示出BP、CQ的长，进而可得到AQ、AP的长，然后分三种情况讨论：
①∠APQ=90°，此时PQ∥OC，可得到△APQ∽△AOC，根据相似三角形所得比例线段即可求得t的值；
②∠AQP=90°，亦可证得△APQ∽△ACO，同①的方法可求得此时t的值；
③∠PAQ=90°，显然这种情况是不成立的．
解：（1）∵直线y=kx-3过点A（4，0），
∴0=4k-3，解得k=．
∴直线的解析式为y=x-3．（1分）
由直线y=x-3与y轴交于点C，可知C（0，-3）．
∵抛物线y＝?x²+mx+n经过点A（4，0）和点C，
∴?×4²+4m?3＝0，
解得m=．
∴抛物线解析式为y＝?x²+x?3．（2分）
（2）对于抛物线y＝?x²+x?3，
令y=0，则?x²+x?3＝0，
解得x₁=1，x₂=4．
∴B（1，0）．
∴AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t．
①若∠Q₁P₁A=90°，则P₁Q₁∥OC（如图1），
∴△AP₁Q₁∽△AOC．
∴＝，
∴＝，
解得t=；（3分）
②若∠P₂Q₂A=90°，
∵∠P₂AQ₂=∠OAC，
∴△AP₂Q₂∽△AOC．
∴＝，
∴＝
解得t=；（4分）
③若∠QAP=90°，此种情况不存在．（5分）
综上所述，当t的值为或时，△PQA是直角三角形．