题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知抛物线ｙ＝ｘ－ａｘ＋ａ－4ａ－4与ｘ轴相交于点A和点B，与ｙ轴相交于点D（0，8），直线DC平行于ｘ轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发，沿C→D运动，同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ、CB，设点P运动的时间为t秒．

（１）求ａ的值；（２）当四边形ODPQ为矩形时，求这个矩形的面积；（３）当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．（４）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？（直接写出答案）

答案

（１）8（２）（３）（４）

解析

解：（１）∵抛物线ｙ＝ｘ－ａｘ＋ａ－4ａ－4经过点（0，8）
∴ａ－4ａ－4＝8
解得：ａ＝6，ａ＝－2（不合题意，舍去）
∴ａ的值为6
（２）由（１）可得抛物线的解析式为
ｙ＝ｘ－6ｘ＋8
当ｙ＝0时，ｘ－6ｘ＋8＝0
解得：ｘ＝2，ｘ＝4
∴A点坐标为（2，0），B点坐标为（4，0）
当ｙ＝8时，
ｘ＝0或ｘ＝6
∴D点的坐标为（0，8），C点坐标为（6，8）
DP＝6－2t，OQ＝2＋ｔ
当四边形OQPD为矩形时，DP＝OQ
2＋t＝6－2t，t＝，OQ＝2＋＝
S＝8×＝
即矩形OQPD的面积为
（３）四边形PQBC的面积为，当此四边形的面积为14时，
（2－t＋2t）×8＝14
解得t＝（秒）
当t＝时，四边形PQBC的面积为14
（４）过点P作PE⊥AB于E，连接PB，
当QE=BE时，△PBQ是等腰三角形，
∵CP=2t，
∴DP=6-2t，
∴BE=OB-PD=4-（6-2t）=2t-2，
∵OQ=2+t，
∴QE=PD-OQ=6-2t-（2+t）=4-3t，
∴4-3t=2t-2，
解得：t=  ，
∴当t=  时，△PBQ是等腰三角形
t＝时，PBQ是等腰三角形．
（1）把点D（0，8）代入抛物线y=x²-ax+a²-4a-4解方程即可解答；
（2）利用（1）中求得的抛物线，求得点A、B、C、D四点坐标，再利用矩形的判定与性质解得即可；
（3）利用梯形的面积计算方法解决问题；
（4）只考虑PQ=PB，其他不符合实际情况，即可找到问题的答案