题目

题型：不详难度：来源：

平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为 (1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D．
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；
(3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为，若，求点Q的坐标和此时△的面积．

答案

解：（1）∵ ，
∴ 抛物线的对称轴为直线．
∵ 抛物线与x轴交于
点A、点B，点A的坐标为，
∴ 点B的坐标为，OB＝3
可得该抛物线的解析式为．
∵ OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，
∴ OC=3，点C的坐标为．
将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．
∴ 此抛物线的解析式为．（如图9）
（2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点，点关于x轴的对称点为点，点、点均为所求点.（如图10）
可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上．
∵、都是弧AB所对的圆周角，
∴，且射线FE上的其它点P都不满足．
由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．
可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线上．
∴ 点E的坐标为．
∴ 由勾股定理得 ．
∴ ．
∴ 点的坐标为．
由对称性得点的坐标为．
∴符合题意的点P的坐标为、.．

（3）∵ 点B、D的坐标分别为、，
可得直线BD的解析式为，直线BD与x轴所夹的锐角为45°．
∵ 点A关于∠AQB的平分线的对称点为，（如图11）
若设与∠AQB的平分线的交点为M，
则有 ，，，Q，B，三点在一条直线上．  
∵，
∴
作⊥x轴于点N．
∵ 点Q在线段BD上， Q，B，三点在一条直线上，
∴ ，．
∴ 点的坐标为．
∵ 点Q在线段BD上，
∴ 设点Q的坐标为，其中．
∵ ，
∴ 由勾股定理得 ．
解得．
经检验，在的范围内．
∴ 点Q的坐标为．
此时

解析

略