题目

题型：不详难度：来源：

如图1，矩形,为原点，点在上，把沿折叠，使点落在边上的点处，A、D坐标分别为和，抛物线过点.
(1)求点的坐标及该抛物线的解析式；
(2)如图2，矩形的长、宽一定，点沿(1)中的抛物线滑动，在滑动过程中轴，且在的下方，当点横坐标为-1时，点位于轴上方且距离轴个单位.当矩形在滑动过程中被轴分成上下两部分的面积比为2:3时，求点的坐标；
(3)如图3，动点同时从点出发，点以每秒3个单位长度的速度沿线段运动，点以每秒8个单位长度的速度沿折线按的路线运动，当中的其中一点停止运动时，另一点也停止运动．设同时从点出发秒时，的面积为．求与的函数关系式，并写出的取值范围.

答案

解：(1)  由矩形得 ,,
由沿翻折得到,得
由勾股定理得：                       
得   ,    
又均在上代入得  
(2)当时， ,此时
又由距离轴上方个单位, 得
矩形的长为8.                  
设在下滑过程中交轴分别于两点.
则由题意知： 即
 
故的纵坐标为,设，则
得 
或                              
(3)①当时，此时在上,在上.
 
②当时，此时在上,在上.则
过作于
则    得

解析

（1）本题可根据折叠的性质进行求解．根据折叠的性质可知：CD=BC=OA，可在直角三角形OCD中用勾股定理求出OC的长，即可求出C、B的坐标，将这两点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．
（2）先根据x=-1时，P的纵坐标求出PS的长即矩形的长，然后根据矩形被x轴分成上3下2两部分，可求出此时P点的纵坐标，代入抛物线中即可求出P点的坐标．
（3）一：本题要分三种情况进行讨论：
①当0≤t≤1时，此时N在OC上．M在OD上．可用t表示出OM、ON的长，进而可求出S、t的函数关系式．
②当1＜t≤2时，此时N在CD上，M在OD上．过N作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，用ND的长求出△OMN的高，而后同①．
③当2＜t≤2411
时，此时，N、M均在CD上．先用t表示出NM的长，然后过O作OH⊥CD于H，在直角三角形OCH（或ODH）中，用OC的长和∠OCD的正弦值求出△OMN中NM边上的高．
二：根据一的函数的性质及自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值．