题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，二次函数（）的图像与轴分别交于（，）、（，）两点，且与轴交于点；
（1）求该拋物线的解析式，并判断的形状；
（2）在轴上方的拋物线上有一点，且以、、、四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写
出点的坐标；
（3）在此拋物线上是否存在点P，使得以、、、四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求
（4）出点的坐标；若不存在，说明理由．

答案

解：（1）根据题意，将（，），（，）代入中，得
解这个方程，得，，
∴ 该拋物线的解析式为，
当时，，
∴ 点的坐标为（，）。
∴ 在中，．
在中，．
， ∵ ，
∴ 是直角三角形．         
（2）点的坐标为（，）．      
（3）存在．                      
由（1）知，AC^BC．
①若以为底边，则∥，如图1所示，

可求得直线的解析式为，直线可以看作是由直线平移得到的，
所以设直线的解析式为，
把点（，）代入直线的解析式，求得，
∴ 直线的解析式为．
∵ 点既在拋物线上，又在直线上，
∴ 点的纵坐标相等，即，
解得，（舍去）。
当时，，
∴ 点（，）．             
②若以为底边，则∥，如图2所示．

可求得直线的解析式为．直线可以看作是由直线平移得到的，
所以设直线的解析式为，
把点（，）代入直线的解析式，求得，
∴ 直线的解析式为．
∵点既在拋物线上，又在直线上，
∴点的纵坐标相等，
即，解得，（舍去）．
当时，，∴ 点的坐标为（，）．
综上所述，满足题目条件的点为（，）或（，）．

解析

（1）把有关点的坐标代入二次函数，可得抛物线的解析式，根据勾股定理可知三角形ABC是直角三角形；
（2）易知点C坐标为（0,1），根据等腰梯形的性质可得点D的坐标为（，）．
（3）考虑以AC、BC为底边两种情况。