题目

题型：不详难度：来源：

如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、（＞0，＞0，＞0）．
（1）求证：=；
（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S=；
（3）若，当变化时，说明正方形ABCD的面积S随的变化情况．

答案

（1）过A点作AF⊥l₃分别交l₂、l₃于点E、F，过C点作CG⊥l₃交l₃于点G，
∵l₂∥l₃，∴∠2 =∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即=；
（2）∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD =∠4，又∵∠AFD=∠DGC=90°, AD=DC，∴△AFD≌△DGC，∴DF=CG，∵AD²=AF²+FD²，∴S=；
(3)由题意，得， 所以
，
又，解得0＜h₁＜
∴当0＜h₁＜时，S随h₁的增大而减小；
当h₁=时，S取得最小值；
当＜h₁＜时，S随h₁的增大而增大.

解析

（1）通过证明三角形全等证得=；
（2）通过做辅助线构建直角三角形，用勾股定理可得S=
（3）利用二次函数的思想求得正方形ABCD的面积S随的变化情况．