题目

题型：不详难度：来源：

已知直线与轴交于点，与轴交于点，将三角形绕点顺时针旋转90°，使点落在点，点落在点，抛物线过点、、，其对称轴与直线交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求的正切值；
（3）点在轴上，且△与△相似，求点的坐标．

答案

（1）（2）（3）或（，0）

解析

解：（1）由题意得，
∵△旋转至△，∴，               2分
∵过点、、，
∴，
∴，即抛物线是            2分
解：（2）设对称轴与轴交点为．
∵//轴，
∴∠ =∠
∵抛物线的对称轴为直线                             1分
∴                                              1分
∴，，在Rt△中，==
∴                                            2分
解：（3）∵点在轴上，且△与△相似，
∴点必在点的右侧
∵∠=∠，
∴或,                                  2分
即或，
∴或
∴或（，0）                                     1分
（1）先求出点A、B的坐标，再根据旋转的性质求出点C、D的坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）根据抛物线解析式求出对称轴解析式，然后求出点P的坐标，过点P作PQ⊥x轴，则PQ∥y轴，根据两直线平行，内错角相等可得∠OPQ=∠POC，然后利用点P的坐标，根据锐角的正切值的定义列式计算即可得解；
（3）根据点M在x轴上，且△ABM与△APD相似可知，点M一定在点A的右侧，然后求出AP、AB、AD的长度，因为对应边不明确，所以分①AP和AB是对应边，②AP和AM是对应边，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出AM的长度，再根据点A的坐标求解即可．