题目

题型：不详难度：来源：

如图，平面直角坐标系中，已知点（2，3），线段垂直于轴，垂足为，将线段绕点A逆时针方向旋转，点落在点处，直线与轴的交于点．
（1）试求出点的坐标；
（2）试求经过、、三点的抛物线的表达式，并写出其顶点E的坐标；
（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上找点，使得以点、、为顶点的三角形与△相似．

答案

（1）点的坐标为（，）．                                                
设直线的表达式为．
易得 解得             
所以直线的表达式为．
当时，，．
所以点的坐标为（，）．             
（2）设经过、、三点的抛物线的表达式
为（）            
易得                  
解得                                                             
因此，所求的抛物线的表达式为．  
其顶点坐标为 (，)．                                                
（3）点在的对称轴(即直线)上，所以设点的坐标为（1，）．
由题意可得 ，，
∴ , ．
所以若以、、为顶点的三角形与△相似，必有一个角的度数为，
由此可得点必定在点的上方，
，                                       
所以当或时，
以、、为顶点的三角形与△相似．                             
由点（，）、（，）、（2，3）、(，)易得
，，．
∴或．
解得 或．                                      
故符合题意的点有两个，其坐标为（1,5）或（1,6）．                      

解析

（1）已知A点坐标，根据AB的长以及线段AB的旋转条件确定点C的坐标，利用待定系数法即可确定直线BC的解析式，进一步能求出点D的坐标．
（2）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，通过配方能得到顶点E的坐标．
（3）首先画出对应的图形，根据A、B、C、D四点坐标，能判断出∠ACD=135°，结合A、E的坐标，首先确定点F的大致位置，然后根据相似三角形的对应边成比例求出点F的坐标．