题目
题型:不详难度:来源:
(1)求点C的坐标,并求出抛物线的函数解析式;
(2)抛物线的对称轴被直线l1,抛物线,直线l2和x轴依次截得三条线段,问这三条线段有何数量关系?请说明理由;
(3)当直线l2绕点C旋转时,与抛物线的另一个交点为M,请找出使△MCK为等腰三角形的点M,简述理由,并写出点M的坐标.
答案
KD=DE=EF;点M的坐标分别为(﹣2,),(﹣1,)时,
△MCK为等腰三角形.
解析
试题分析:(1)解法1:由题意易知:△BOC∽△COA,
∴,即,∴,
∴点C的坐标是(0,), 2分
由题意,可设抛物线的函数解析式为,
把A(1,0),B(﹣3,0)的坐标分别代入,
得,解这个方程组,得,
∴抛物线的函数解析式为. .4分
(2)解法1:截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF.
理由如下:
可求得直线l1的解析式为,
直线l2的解析式为,
抛物线的对称轴为直线x=-1, 6分
由此可求得点K的坐标为(﹣1,),
点D的坐标为(﹣1,),点E的坐标为(﹣1,),点F的坐标为(﹣1,0).
∴KD=,DE=,EF=,
∴KD=DE=EF. 8分
(3)当点M的坐标分别为(﹣2,),(﹣1,)时,△MCK为等腰三角形.
理由如下:
(i)连接BK,交抛物线于点G,易知点G的坐标为(﹣2,),
又∵点C的坐标为(0,),则GC∥AB,
∵可求得AB=BK=4,且∠ABK=60°,即△ABK为正三角形,
∴△CGK为正三角形
∴当l2与抛物线交于点G,即l2∥AB时,符合题意,此时点M1的坐标为(﹣2,), 10分
(ii)连接CD,由KD=,CK=CG=2,∠CKD=30°,易知△KDC为等腰三角形,
∴当l2过抛物线顶点D时,符合题意,此时点M2坐标为(﹣1,), .12分
(iii)当点M在抛物线对称轴右边时,只有点M与点A重合时,满足CM=CK,
但点A、C、K在同一直线上,不能构成三角形,
综上所述,当点M的坐标分别为(﹣2,),(﹣1,)时,
△MCK为等腰三角形.
点评:解答本题的的关键是熟练掌握有两组角对应相等的两个三角形相似;两组边对应成比例且夹角相等的三角形相似
核心考点
试题【已知两直线l1,l2分别经过点A(1,0),点B(﹣3,0),并且当两直线同时相交于y轴正半轴的点C时,恰好有l1⊥l2,经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)如图1,求抛物线y=(x﹣2)2+1的伴随直线的表达式.
(2)如图2,若抛物线y=a(x﹣m)2+n(m>0)的伴随直线是y=x﹣3,伴随四边形的面积为12,求此抛物线的表达式.
(3)如图3,若抛物线y=a(x﹣m)2+n的伴随直线是y=﹣2x+b(b>0),且伴随四边形ABCD是矩形.用含b的代数式表示m、n的值.
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
y | 3 | 0 | -2 | 0 | 3 |
A.y= B. y=x2-4x+3 C. D.
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
(1)求出一元二次函数的关系式;
(2)点为线段上的一个动点,过点作轴的垂线,垂足为.若,的面积为,求关于的函数关系式,并写出的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当点坐标是 时,为直角三角形.
(1)当顶点A运动至与原点重合时,顶点C是否在该抛物线上?
(2)在运动过程中有可能被轴分成两部分,当上下两部分的面积之比为1:8(即)时,求顶点A的坐标;
(3)在运动过程中,当顶点B落在坐标轴上时,直接写出顶点C的坐标.
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