题目

题型：不详难度：来源：

（2013年四川攀枝花12分）如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）由于抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），
将C点坐标（0，﹣3）代入，得：a（0+3）（0﹣1）=5，解得 a=1。
∴抛物线的解析式为：y=（x+3）（x﹣1），即y=x²+2x﹣3。
（2）如图1，过点P作x轴的垂线，交AC于点N．

设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得，解得。
∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3。
设P点坐标为（x，x²+2x﹣3），
则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），
∴PN=PE﹣NE=﹣（x²+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x²﹣3x。
∵S_△PAC=S_△PAN+S_△PCN，
∴。
∴当x=时，S有最大值，此时点P的坐标为（，）。
（3）在y轴上是否存在点M，能够使得△ADE是直角三角形。理由如下：
∵y=x²+2x﹣3=y=（x+1）²﹣4，∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4）。
∵A（﹣3，0），∴AD²=（﹣1+3）²+（﹣4﹣0）²=20。
设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：
①当A为直角顶点时，如图2，

由勾股定理，得AM²+AD²=DM²，
即（0+3）²+（t﹣0）²+20=（0+1）²+（t+4）²，解得t=。
∴点M的坐标为（0，）。
②当D为直角顶点时，如图3，

由勾股定理，得DM²+AD²=AM²，
即（0+1）²+（t+4）²+20=（0+3）²+（t﹣0）²，解得t=。
∴点M的坐标为（0，）。
③当M为直角顶点时，如图4，

由勾股定理，得AM²+DM²=AD²，
即（0+3）²+（t﹣0）²+（0+1）²+（t+4）²=20，解得t=﹣1或﹣3。
∴点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）。
综上所述，在y轴上存在点M，能够使得△ADE是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）。

解析

（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式。
（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x，x²+2x﹣3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S_△PAC=S_△PAN+S_△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论。
（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可。