题目

题型：不详难度：来源：

（2013年四川自贡14分）如图，已知抛物线y=ax²+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．

（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；
（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）如答图1，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=3，OE=2。

∵，∴BE=6。
∴OB=BE﹣OE=4。∴B（﹣4，0）。
∵点B（﹣4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax²+bx﹣2（a≠0）上，
∴，解得。
∴抛物线的解析式为：。
（2）在抛物线中，
令x=0，得y=﹣2，∴C（0，﹣2）。
令y=0，得x=﹣4或1，∴A（1，0）。
设点M坐标为（m，n）（m＜0，n＜0）。
如答图1，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF=﹣n，OF=﹣m，BF=4+m。

∵点M（m，n）在抛物线上，∴，代入上式得：
，
∴当m=﹣2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9。
（3）假设存在这样的⊙Q，
如答图2所示，设直线x=﹣2与x轴交于点G，与直线AC交于点F

设直线AC的解析式为y=kx+b，
将A（1，0）、C（0，﹣2）代入得：
，解得：。
∴直线AC解析式为：y=2x﹣2。
令x=﹣2，得y=﹣6，∴F（﹣2，﹣6），GF=6。
在Rt△AGF中，由勾股定理得：
。
设Q（﹣2，q），则在Rt△AGF中，由勾股定理得：
。
设⊙Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=。
在Rt△AGF与Rt△QEF中，
∵∠AGF=∠QEF=90°，∠AFG=∠QFE，∴Rt△AGF∽Rt△QEF。
∴，即。
化简得：，解得q=4或q=﹣1。
∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）。

解析

（1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式。
（2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值。
（3）如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标。