题目
题型:不详难度:来源:
(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;
(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使∠APC=90°?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图所示,连接BC,M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点,过点M作直线l′∥l,交抛物线于点N,连接CN、BN,设点M的横坐标为t.当t为何值时,△BCN的面积最大?最大面积为多少?
答案
解析
试题分析:(1)已知了C点的坐标,即可得到OC的长,根据∠OAC的正切值即可求出OA的长,由此可得到A点的坐标,将A、C的坐标代入抛物线中,即可确定该二次函数的解析式;
(2)根据抛物线的解析式即可确定其对称轴方程,由此可得到点P的横坐标;若∠APC=90°,则∠PAE和∠CPD是同角的余角,因此两角相等,则它们的正切值也相等,由此可求出线段PE的长,即可得到点P点的坐标;(用相似三角形求解亦可)
(3)根据B、C的坐标易求得直线BC的解析式,已知了点M的横坐标为t,根据直线BC和抛物线的解析式,即可用t表示出M、N的纵坐标,由此可求得MN的长,以MN为底,B点横坐标的绝对值为高,即可求出△BNC的面积(或者理解为△BNC的面积是△CMN和△MNB的面积和),由此可得到关于S(△BNC的面积)、t的函数关系式,根据所得函数的性质即可求得S的最大值及对应的t的值.
试题解析::(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点C(0,2),
∴x=2;
又∵tan∠OAC==2,
∴OA=1,即A(1,0);
又∵点A在抛物线y=x2+bx+2上,
∴0=12+b×1+2,b=-3;
∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2-3x+2;
(2)存在.
过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,
∴x=-;
∴AE=OE-OA= ,
∵∠APC=90°,
∴tan∠PAE=tan∠CPD,
∴,
即 ,
解得PE=或PE=,
∴点P的坐标为(,)或(,).
(3)如图所示,易得直线BC的解析式为:y=-x+2,
∵点M是直线l′和线段BC的交点,
∴M点的坐标为(t,-t+2)(0<t<2),
∴MN=-t+2-(t2-3t+2)=-t2+2t,
∴S△BCN=S△MNC+S△MNB=MN▪t+MN▪(2-t)=MN▪(t+2-t)=MN=-t2+2t(0<t<2),
∴S△BCN=-t2+2t=-(t-1)2+1,
∴当t=1时,S△BCN的最大值为1.
考点: 二次函数综合题
核心考点
试题【如图所示,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),连接AC,若tan∠OAC=2.(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;(2)在】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. |
C. | D. |
A. | B. | C. | D. |
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)如果点是抛物线上的一点,求△ABD的面积.
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