题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:∠CAD =∠CAB;
(2)已知抛物线过A、B、C三点,AB=10,tan∠CAD=.
① 求抛物线的解析式;
② 判断抛物线的顶点E是否在直线CD上,并说明理由;
③ 在抛物线上是否存在一点P,使四边形PBCA是直角梯形.若存在,直接写出点P的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)连接O′C,由CD是⊙O的切线,可得O′C⊥CD,则可证得O′C∥AD,又由O′A=O′C,则可证得∠CAD=∠CAB;
(2)①首先证得△CAO∽△BCO,根据相似三角形的对应边成比例,可得OC2=OA•OB,又由tan∠CAO=tan∠CAD=,则可求得CO,AO,BO的长,然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;
②首先证得△FO′C∽△FAD,由相似三角形的对应边成比例,即可得到F的坐标,求得直线DC的解析式,然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案;
③根据题意分别从PA∥BC与PB∥AC去分析求解即可求得答案,小心漏解.
试题解析:(1)证明:连接O′C,
∵CD是⊙O′的切线,
∴O′C⊥CD,
∵AD⊥CD,
∴O′C∥AD,
∴∠O′CA=∠CAD,
∵O′A=O′C,
∴∠CAB=∠O′CA,
∴∠CAD=∠CAB;
(2)解:①∵AB是⊙O′的直径,
∴∠ACB=90°,
∵OC⊥AB,
∴∠CAB=∠OCB,
∴△CAO∽△BCO,
∴,
即OC2=OA•OB,
∵tan∠CAO=tan∠CAD=,
∴AO=2CO,
又∵AB=10,
∴OC2=2CO(10-2CO),
解得CO1=4,CO2=0(舍去),
∴CO=4,AO=8,BO=2
∵CO>0,
∴CO=4,AO=8,BO=2,
∴A(-8,0),B(2,0),C(0,4),
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A,B,C三点,
∴c=4,
由题意得:
,
解得:,
∴抛物线的解析式为:y=-x2-x+4;
②设直线DC交x轴于点F,
∴△AOC≌△ADC,
∴AD=AO=8,
∵O′C∥AD,
∴△FO′C∽△FAD,
∴,
∴O′F•AD=O′C•AF,
∴8(BF+5)=5(BF+10),
∴BF=,F(,0);
设直线DC的解析式为y=kx+m,
则,
解得:,
∴直线DC的解析式为y=-x+4,
由y=-x2-x+4=-(x+3)2+得顶点E的坐标为(-3,),
将E(-3,)代入直线DC的解析式y=--x+4中,
右边=-×(-3)+4==左边,
∴抛物线顶点E在直线CD上;
(3)存在,P1(-10,-6),P2(10,-36).
①∵A(-8,0),C(0,4),
∴过A、C两点的直线解析式为y=x+4,
设过点B且与直线AC平行的直线解析式为:y=x+b,把B(2,0)代入得b=-1,
∴直线PB的解析式为y=x-1,
∴,
解得,(舍去),
∴P1(-10,-6).
②求P2的方法应为过点A作与BC平行的直线,
可求出BC解析式,进而求出与之平行的直线的解析式,
与求P1同法,可求出x1=-8,y1=0(舍去);x2=10,y2=-36.
∴P2的坐标(10,-36).
考点: 二次函数综合题.
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系xOy中,AB在x轴上,以AB为直径的半⊙O’与y轴正半轴交于点C,连接BC,AC.CD是半⊙O’的切线,AD⊥CD于点D.(1)求证:∠】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.向左平移1个单位,再向上平移3各单位 |
B.向左平移1个单位,再向下平移3个单位 |
C.向右平移1个单位,再向上平移3个单位 |
D.向右平移1个单位,再向下平移3个单位 |
A.③④ | B.③⑤ | C.③④⑤ | D.②③④⑤ |
A. | B. | C. | D. |
A.(﹣3,1) | B.(3,1) | C.(3,﹣1) | D.(1,3) |
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