题目

题型：不详难度：来源：

已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．

（1）求△AED的周长；
（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A₀E₀D₀，当A₀D₀与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△A₀E₀D₀与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B₁，E的对应点为E₁，设直线B₁E₁与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．

答案

（1）9+3  （2）S与t之间的函数关系式为：
S=
（3）存在，α=75°

解析

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6．
在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，
∴AE=AD•cos30°=3，DE=AD•sin30°=3，
∴△AED的周长为：6+3+3=9+3．
（2）在△AED向右平移的过程中：
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D₀NK．

∵DD₀=2t，∴ND₀=DD₀•sin30°=t，NK=ND₀•tan30°=t，
∴S=S_△D0NK=ND₀•NK=t•t=t²；
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D₀E₀KN．

∵AA₀=2t，∴A₀B=AB-AA₀=12-2t，
∴A₀N=A₀B=6-t，NK=A₀N•tan30°=（6-t）．
∴S=S_{四边形D0E0KN}=S_△ADE-S_△A0NK=×3×3-×（6-t）×（6-t）=-t²+2t-；
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D₀IJKN．

∵AA₀=2t，∴A₀B=AB-AA₀=12-2t=D₀C，
∴A₀N=A₀B=6-t，D₀N=6-（6-t）=t，BN=A₀B•cos30°=（6-t）；
易知CI=BJ=A₀B=D₀C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，
S=S_梯形BND0I-S_△BKJ= [t+（2t-6）]• （6-t）-•（12-2t）•（12-2t）=-t²+20t-42．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：
S=．
（3）存在α，使△BPQ为等腰三角形．
理由如下：经探究，得△BPQ∽△B₁QC，
故当△BPQ为等腰三角形时，△B₁QC也为等腰三角形．
（I）当QB=QP时（如答图4），

则QB₁=QC，∴∠B₁CQ=∠B₁=30°，
即∠BCB₁=30°，
∴α=30°；
（II）当BQ=BP时，则B₁Q=B₁C，
若点Q在线段B₁E₁的延长线上时（如答图5），

∵∠B₁=30°，∴∠B₁CQ=∠B₁QC=75°，
即∠BCB₁=75°，
∴α=75°．