题目
题型:不详难度:来源:
(1)当t= 时,△PQR的边QR经过点B;
(2)设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式;
(3)如图2,过定点E(5,0)作EF⊥BC,垂足为F,当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时,过点R作x轴、y轴的平行线,分别交EF、BC于点M、N,若∠MAN=45°,求t的值.
答案
(2)
(3)t的值为(8﹣2)
解析
试题分析:(1)△PQR的边QR经过点B时,△ABQ构成等腰直角三角形,则有AB=AQ,由此列方程求出t的值;
(2)在图形运动的过程中,有三种情形,需要分类讨论,避免漏解;
(3)由已知可得ABFE为正方形;其次通过旋转,由三角形全等证明MN=EM+BN;设EM=m,BN=n,在Rt△FMN中,由勾股定理得到等式:mn+3(m+n)﹣9=0,由此等式列方程求出时间t的值.
试题解析:(1)△PQR的边QR经过点B时,△ABQ构成等腰直角三角形,
∴AB=AQ,即3=4﹣t,
∴t=1.
即当t=1秒时,△PQR的边QR经过点B.
(2)①当0≤t≤1时,如答图1﹣1所示.
设PR交BC于点G,
过点P作PH⊥BC于点H,则CH=OP=2t,GH=PH=3.
S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC
=8×3﹣(2t+2t+3)×3
=﹣6t+;
②当1<t≤2时,如答图1﹣2所示.
设PR交BC于点G,RQ交BC、AB于点S、T.
过点P作PH⊥BC于点H,则CH=OP=2t,GH=PH=3.
QD=t,则AQ=AT=4﹣t,
∴BT=BS=AB﹣AQ=3﹣(4﹣t)=t﹣1.
S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC﹣S△BST
=8×3﹣(2t+2t+3)×3﹣(t﹣1)2
=﹣t2﹣5t+19;
③当2<t≤4时,如答图1﹣3所示.
设RQ与AB交于点T,则AT=AQ=4﹣t.
PQ=12﹣3t,∴PR=RQ=(12﹣3t).
S=S△PQR﹣S△AQT
=PR2﹣AQ2
=(12﹣3t)2﹣(4﹣t)2
=t2﹣14t+28.
综上所述,S关于t的函数关系式为:
.
(3)∵E(5,0),∴AE=AB=3,
∴四边形ABFE是正方形.
如答图2,将△AME绕点A顺时针旋转90°,得到△ABM′,其中AE与AB重合.
∵∠MAN=45°,∴∠EAM+∠NAB=45°,
∴∠BAM′+∠NAB=45°,
∴∠MAN=∠M′AN.
连接MN.在△MAN与△M′AN中,
∴△MAN≌△M′AN(SAS).
∴MN=M′N=M′B+BN
∴MN=EM+BN.
设EM=m,BN=n,则FM=3﹣m,FN=3﹣n.
在Rt△FMN中,由勾股定理得:FM2+FN2=MN2,即(3﹣m)2+(3﹣n)2=(m+n)2,
整理得:mn+3(m+n)﹣9=0. ①
延长MR交x轴于点S,则m=EM=RS=PQ=(12﹣3t),
∵QS=PQ=(12﹣3t),AQ=4﹣t,
∴n=BN=AS=QS﹣AQ=(12﹣3t)﹣(4﹣t)=﹣t+2.
∴m=3n,
代入①式,化简得:n2+4n﹣3=0,
解得n=﹣2+或n=﹣2﹣(舍去)
∴2﹣t=﹣2+
解得:t=8﹣2.
∴若∠MAN=45°,则t的值为(8﹣2)秒.
核心考点
试题【如图1,矩形OABC顶点B的坐标为(8,3),定点D的坐标为(12,0),动点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动,动点Q从点D出发,以】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
第一次操作:将线段EF绕点F顺时针旋转,当点E落在正方形上时,记为点G;
第二次操作:将线段FG绕点G顺时针旋转,当点F落在正方形上时,记为点H;
依次操作下去…
(1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的,其形状为 ,求此时线段EF的长;
(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH.
①请判断四边形EFGH的形状为 ,此时AE与BF的数量关系是 ;
②以①中的结论为前提,设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x的函数关系式及面积y的取值范围;
(3)若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形,其最大边数是多少?它可能是正多边形吗?如果是,请直接写出其边长;如果不是,请说明理由.
(1)抛物线y=x2对应的碟宽为 ;抛物线y=4x2对应的碟宽为 ;抛物线y=ax2(a>0)对应的碟宽为 ;抛物线y=a(x﹣2)2+3(a>0)对应的碟宽为 ;
(2)抛物线y=ax2﹣4ax﹣(a>0)对应的碟宽为6,且在x轴上,求a的值;
(3)将抛物线y=anx2+bnx+cn(an>0)的对应准蝶形记为Fn(n=1,2,3…),定义F1,F2,…,Fn为相似准蝶形,相应的碟宽之比即为相似比.若Fn与Fn﹣1的相似比为,且Fn的碟顶是Fn﹣1的碟宽的中点,现将(2)中求得的抛物线记为y1,其对应的准蝶形记为F1.
①求抛物线y2的表达式;
②若F1的碟高为h1,F2的碟高为h2,…Fn的碟高为hn,则hn= ,Fn的碟宽有端点横坐标为 2 ;F1,F2,…,Fn的碟宽右端点是否在一条直线上?若是,直接写出该直线的表达式;若不是,请说明理由.
A.y=3(x+1)2+2 | B.y=3(x+1)2﹣2 |
C.y=3(x﹣1)2+2 | D.y=3(x﹣1)2﹣2 |
(1)求该抛物线的解析式及点M的坐标;
(2)连接ON,AC,证明:∠NOB=∠ACB;
(3)点E是该抛物线上一动点,且位于第一象限,当点E到直线BC的距离为时,求点E的坐标;
(4)在满足(3)的条件下,连接EN,并延长EN交y轴于点F,E、F两点关于直线BC对称吗?请说明理由.
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