题目
题型:不详难度:来源:
(1)抛物线y=x2对应的碟宽为 ;抛物线y=4x2对应的碟宽为 ;抛物线y=ax2(a>0)对应的碟宽为 ;抛物线y=a(x﹣2)2+3(a>0)对应的碟宽为 ;
(2)抛物线y=ax2﹣4ax﹣(a>0)对应的碟宽为6,且在x轴上,求a的值;
(3)将抛物线y=anx2+bnx+cn(an>0)的对应准蝶形记为Fn(n=1,2,3…),定义F1,F2,…,Fn为相似准蝶形,相应的碟宽之比即为相似比.若Fn与Fn﹣1的相似比为,且Fn的碟顶是Fn﹣1的碟宽的中点,现将(2)中求得的抛物线记为y1,其对应的准蝶形记为F1.
①求抛物线y2的表达式;
②若F1的碟高为h1,F2的碟高为h2,…Fn的碟高为hn,则hn= ,Fn的碟宽有端点横坐标为 2 ;F1,F2,…,Fn的碟宽右端点是否在一条直线上?若是,直接写出该直线的表达式;若不是,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)根据定义可算出y=ax2(a>0)的碟宽为、碟高为,由于抛物线可通过平移y=ax2(a>0)得到,得到碟宽为、碟高为,由此可得碟宽、碟高只与a有关,与别的无关,从而可得.
(2)由(1)的结论,根据碟宽易得a的值.
(3)①根据y1,容易得到y2.
②结合画图,易知h1,h2,h3,…,hn﹣1,hn都在直线x=2上,可以考虑hn∥hn﹣1,且都过Fn﹣1的碟宽中点,进而可得.画图时易知碟宽有规律递减,由此可得右端点的特点.对于“F1,F2,…,Fn的碟宽右端点是否在一条直线上?”,我们可以推测任意相邻的三点是否在一条直线上,如果相邻的三个点不共线则结论不成立,反之则成立,所以可以考虑基础的几个图形关系,利用特殊点求直线方程即可.
试题解析:(1)4;1;;.
∵a>0,
∴y=ax2的图象大致如下:
其必过原点O,记AB为其碟宽,AB与y轴的交点为C,连接OA,OB.
∵△DAB为等腰直角三角形,AB∥x轴,
∴OC⊥AB,
∴∠OCA=∠OCB=∠AOB=×90°=45°,
∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形,
∴AC=OC=BC,
∴xA=-yA,xB=yB,代入y=ax2,
∴A(﹣,),B(,),C(0,),
∴AB=,OC=,
即y=ax2的碟宽为.
①抛物线y=x2对应的a=,得碟宽为4;
②抛物线y=4x2对应的a=4,得碟宽为为;
③抛物线y=ax2(a>0),碟宽为;
④抛物线y=a(x﹣2)2+3(a>0)可看成y=ax2向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度后得到的图形,
∵平移不改变形状、大小、方向,
∴抛物线y=a(x﹣2)2+3(a>0)的准碟形与抛物线y=ax2的准碟形全等,
∵抛物线y=ax2(a>0),碟宽为,
∴抛物线y=a(x﹣2)2+3(a>0),碟宽为.
(2)∵y=ax2﹣4ax﹣,
∴由(1),其碟宽为,
∵y=ax2﹣4ax﹣的碟宽为6,
∴=6,
解得A=,
∴y=x2﹣x﹣=(x﹣2)2﹣3
(3)①∵F1的碟宽:F2的碟宽=2:1,
∴=,
∵a1=,
∴a2=.
∵y=(x﹣2)2﹣3的碟宽AB在x轴上(A在B左边),
∴A(﹣1,0),B(5,0),
∴F2的碟顶坐标为(2,0),
∴y2=(x﹣2)2.
②∵Fn的准碟形为等腰直角三角形,
∴Fn的碟宽为2hn,
∵2hn:2hn﹣1=1:2,
∴hn=hn﹣1=()2hn﹣2=()3hn﹣3=…=()n+1h1,
∵h1=3,
∴hn=.
∵hn∥hn﹣1,且都过Fn﹣1的碟宽中点,
∴h1,h2,h3,…,hn﹣1,hn都在一条直线上,
∵h1在直线x=2上,
∴h1,h2,h3,…,hn﹣1,hn都在直线x=2上,
∴Fn的碟宽右端点横坐标为2+.
另,F1,F2,…,Fn的碟宽右端点在一条直线上,直线为y=﹣x+5.
分析如下:
考虑Fn﹣2,Fn﹣1,Fn情形,关系如图2,
Fn﹣2,Fn﹣1,Fn的碟宽分别为AB,DE,GH;C,F,I分别为其碟宽的中点,都在直线x=2上,连接右端点,BE,EH.
∵AB∥x轴,DE∥x轴,GH∥x轴,
∴AB∥DE∥GH,
∴GH平行且等于FE,DE平行且等于CB,
∴四边形GFEH,四边形DCBE都为平行四边形,
∴HE∥GF,EB∥DC,
∵∠GFI=∠GFH=∠DCE=∠DCF,
∴GF∥DC,
∴HE∥EB,
∵HE,EB都过E点,
∴HE,EB在一条直线上,
∴Fn﹣2,Fn﹣1,Fn的碟宽的右端点是在一条直线,
∴F1,F2,…,Fn的碟宽的右端点是在一条直线.
∵F1:y1=(x﹣2)2﹣3准碟形右端点坐标为(5,0),
F2:y2=(x﹣2)2准碟形右端点坐标为(2+,),
∴待定系数可得过两点的直线为y=﹣x+5,
∴F1,F2,…,Fn的碟宽的右端点是在直线y=﹣x+5上.
核心考点
试题【如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与x轴平行,且与抛物线交于点A,B,若△AMB为等腰直角三角形,我们把抛物线上A,B两点之间的】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.y=3(x+1)2+2 | B.y=3(x+1)2﹣2 |
C.y=3(x﹣1)2+2 | D.y=3(x﹣1)2﹣2 |
(1)求该抛物线的解析式及点M的坐标;
(2)连接ON,AC,证明:∠NOB=∠ACB;
(3)点E是该抛物线上一动点,且位于第一象限,当点E到直线BC的距离为时,求点E的坐标;
(4)在满足(3)的条件下,连接EN,并延长EN交y轴于点F,E、F两点关于直线BC对称吗?请说明理由.
A.4个 | B.3个 | C.2个 | D.1个 |
(1)经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的,且空调采购单价不低于1200元,问该商家共有几种进货方案?
(2)该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完.在(1)的条件下,问采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标;
(3)将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)得到另一个三角形,将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S,用m的代数式表示S.
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