题目

题型：不详难度：来源：

我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形．你可以利用这一结论解决问题．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形．若它与反比例函数y=

3

x

的图象分别交于第一、三象限的点B，D，已知点A（-m，O）、C（m，0）．
（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是______；
（2）①当点B为（p，1）时，四边形ABCD是矩形，试求p，α，和m的值；
②观察猜想：对①中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？（不必说理）
（3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标，若不能，说明理由．

答案

（1）平行四边形（3分）

（2）①∵点B（p，1）在y=

3

x

的图象上，
∴1=

3

p

，
∴p=

3

．（4分）
过B作BE⊥x轴于E，则OE=

3

，BE=1
在Rt△BOE中，tanα=

BE

OE

=

1

3

=

3

3

α=30°，（5分）
∴OB=2．
又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，
∴点B、D关于原点O成中心对称，（6分）
∴OB=OD=2．
∵四边形ABCD为矩形，且A（-m，0），C（m，0）
∴OA=OB=OC=OD=2（7分）
∴m=2；（8分）
②能使四边形ABCD为矩形的点B共有2个；（9分）

（3）四边形ABCD不能是菱形．理由如下：（10分）
若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD，且AC与BD互相平分，
因为点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0），
所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上，（11分）
所以BD应在y轴上，
这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，
所以四边形ABCD不可能为菱形．（12分）