题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

一次函数y=ax+b的图像分别与x轴、y轴交于点M、N，与反比例函数y=的图像相交于点A、B，过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C、E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F、D，AC与BD交于点K，连接CD。

（1）若点A、B在反比例函数y=的图像的同一分支上，如图（a），试证明：
①S_{四边形AEDK}=S_{四边形CFBK}；
②AN=BM；
（2）若点A，B分别在反比例函数y=的图像的不同分支上，如图（b），则AN与BM还相等吗？试证明你的结论。

答案

证明：（1）①∵AC⊥x轴，AE⊥y轴，
∴四边形AEOC为矩形，
∵BF⊥x轴，BD⊥y轴，
∴四边形BDOF为矩形，
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴四边形AEDK，四边形DOCK，四边形CFBK均为矩形，
∵OC=x₁，AC=y₁，x₁·y₁=k，
∴S_矩形AEOC=OC·AC=x₁·y₁=k，
∵OF=x₂，FB=y₂，x₂·y₂=k，
∴S_矩形BDOF=OF·FB=x₂·y₂=k，
∴S_矩形AEOC=S_矩形BDOF，
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC-S_矩形DOCK，S_矩形CFBK=S_矩形BDOF-S_矩形DOCK，
∴S_矩形AEDK=S_矩形CFBK；
②由（1）知S_矩形AEDK=S_矩形CFBK，
∴AK·DK=BK·CK，即，
∵∠AKB=∠CKD=90°，
∴△AKB∽△CKD，
∴∠CDK=∠ABK，
∴AB//CD，
∵AC//y轴，
∴四边形ACDN是平行四边形，
∴AN=CD，同理BM=CD，
∴AN=BM；
（2）AN与BM仍然相等；
∵S_矩形AEDK=S_矩形AEOC+S_矩形ODKC，S_矩形BKCF=S_矩形BDOF+S_矩形ODKC，
又∵S_矩形AEOC=S_矩形BDOF=k，
∴S_矩形AEDK=S_矩形BKCF，
∴AK·DK=BK·CK，
∴，
∵∠K=∠K，
∴△CDK∽△ABK，
∴∠CDK=∠ABK，
∴AB//CD，
∵AC//y轴，
∴四边形ANDC是平行四边形，
∴AN=CD，同理BM=CD，
∴AN=BM。