题目

题型：竞赛题难度：来源：

请你利用直角坐标平面上任意两点（x₁ ，y₁）、（x₂，y₂）间的距离公式解答下列问题：
已知：反比例函数与正比例函数的图象交于A、B两点（A在第一象限）, 点F₁（-2，-2）、F₂（2，2）在直线上y=x。设点P（x₀，y₀）是反比例函数图象上的任意一点，记点P与F₁、F₂两点的距离之差
d=︱P F₁ - P F₂︱，试比较线段AB的长度与d的大小，并由此归纳出双曲线的一个重要定义（用简练的语言表述）。

答案

解：解由y=x和组成的方程组可得A、B两点的坐标分别为
        
       ∴ 线段AB的长度=4
       ∵点P（x₀，y₀）是反比例函数图象上一点，
       ∴
     
        当x₀ ＞0时，d=4；当x₀ ＜0时，d=4
      因此，无论点P的位置如何，线段AB的长度与d一定相等。由此可知：到两个定点的距离之差（取正值）是定值的点的集合（轨迹）是双曲线。