题目

题型：专项题难度：来源：

我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线。
如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1，0)，半圆半径为2。

（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；
（3）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式。

答案

解：（1）根据题意可得：A(-1，0)，B(3，0)，
则设抛物线的解析式为(a≠0)，
又点D(0，-3)在抛物线上，
∴a(0+1)(0-3)=-3，
解之得：a=1
∴y=x²-2x-3，自变量范围：-1≤x≤3。（2）设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM，
在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，
∴∠CMO=60°，OC=，
在Rt△MCE中，∵OC=2，∠CMO=60°，
∴ME=4，
∴点C、E的坐标分别为(0，)，(-3，0)，
∴切线CE的解析式为。（3）设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k≠0)，
由题意，知方程组只有一组解，
即有两个相等的实数根，
∴k=-2，
∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3。