在△ABC中，∠ABC＝45 °，tan∠ACB＝．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝，AC与y轴交于点E．(1)求AC所在直线的函数 - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：浙江省中考真题难度：来源：

在△ABC中，∠ABC＝45 °，tan∠ACB＝

．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝

，AC与y轴交于点E．

(1)求AC所在直线的函数解析式；
(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；
(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：(1)在Rt△OCE中，
OE＝OCtan∠OCE＝＝，
∴点E(0，2)．
设直线AC的函数解析式为y＝kx+，
有，
解得：k＝．
∴直线AC的函数解析式为y＝；
(2)在Rt△OGE中，
tan∠EOG＝tan∠OCE＝＝，
设EG＝3t，OG＝5t，OE＝＝t，
∴，得t＝2，
故EG＝6，OG＝10，
∴S_△OEG＝；
(3)存在．
①当点Q在AC上时，点Q即为点G，如图1，
作∠FOQ的角平分线交CE于点P₁，
由△OP₁F≌△OP₁Q，
则有P₁F⊥x轴，
由于点P₁在直线AC上，
当x＝10时，y＝﹣＝，
∴点P₁(10，)；
②当点Q在AB上时，如图2，
有OQ＝OF，
作∠FOQ的角平分线交CE于点P₂，
过点Q作QH⊥OB于点H，
设OH＝a，则BH＝_QH＝14﹣a，
在Rt△OQH中，
a²+(14﹣a)²＝100，
解得：a₁＝6，a₂＝8，
∴Q(﹣6，8)或Q(﹣8，6)．
连接QF交OP₂于点M．
当Q(﹣6，8)时，则点M(2，4)．
当Q(﹣8，6)时，则点M(1，3)．
设直线OP₂的解析式为y＝kx，
则2k＝4，k＝2．
∴y＝2x．
解方程组，
得．
∴P₂()；
当Q(﹣8，6)时，则点M(1，3)．
同理可求P₂^"()．
综上所述，满足条件的P点坐标为
(10，)或()
或()．

核心考点

试题【在△ABC中，∠ABC＝45 °，tan∠ACB＝．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝，AC与y轴交于点E．(1)求AC所在直线的函数】；主要考察你对待定系数法求一次函数解析式等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图1，已知直线y=2x与抛物线

交于点A（3，6）.
（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N。试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，说明理由；
（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD。继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？