题目

题型：湖北省期末题难度：来源：

已知A（﹣1，0），B（0，﹣3），点C与点A关于坐标原点对称，经过点C的直线与y轴交于点D，与直线AB交于点E，且E点在第二象限．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点D（0，1），过点B作BF⊥CD于F，连接BC，求∠DBF的度数及△BCE的面积；
（3）若点G（G不与C重合）是动直线CD上一点，且BG=BA，试探究∠ABG与∠ACE之间满足的等量关系，并加以证明．

答案

解：（1）依题意，设直线AB的解析式为 y=kx﹣3
∵A（﹣1，0）在直线上，
∴0=﹣k﹣3．
∴k=﹣3．
∴直线AB的解析式为y=﹣3x﹣3．
（2）如图1，依题意，C（1，0），OC=1．由D（0，1），得OD=1．
在△DOC中，∠DOC=90°，OD=OC=1．可得∠CDO=45°．
∵BF⊥CD于F，
∴∠BFD=90°．
∴∠DBF=90°﹣∠CDO=45°．
可求得直线CD的解析式为y=﹣x+1 由   解得 
∴直线AB与CD的交点为E（﹣2，3）．
过E作EH⊥y轴于H，则EH=2．
∵B（0，﹣3），D（0，1），
∴BD=4．
∴S_△BCE=S_△BDE+S_△BDC= ×4×2+ ×4×1=6
（3）连接BC，作BM⊥CD于M．
∵AO=OC，BO⊥AC，
∴BA=BC．
∴∠ABO=∠CBO．
设∠CBO=α，则∠ABO=α，∠ACB=90°﹣α．
∵BG=BA，
∴BG=BC．
∵BM⊥CD，
∴∠CBM=∠GBM．
设∠CBM=β，则∠GBM=β，∠BCG=90°﹣β．
（i） 如图2，当点G在射线CD的反向延长线上时，
∵∠ABG=2α+2β=2（α+β） ∠ECA=180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣β）=α+β
∴∠ABG=2∠ECA．
（ii） 如图3，当点G在射线CD的延长线上时，
∵∠ABG=2α﹣2β=2（α﹣β） ∠ECA=（90°﹣β）﹣（90°﹣α）=α﹣β
∴∠ABG=2∠ECA．
综上，∠ABG=2∠ECA．