题目

题型：湖南省竞赛题难度：来源：

如图，一次函数y= -x+的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°。
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；
（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵一次函数的解析式为函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（1，0），B（0， ），
∴AB=2，设AC=x，则BC=2x，
由勾股定理得，4x²-x²=4，
解得x= ， ；

（2）过P作PD⊥x轴，垂足为D，
S_△APB=S_梯形ODPB+S_△AOB-S_△APD=

解得m=；

（3）∵AB= ，
∴当AQ=AB时，点Q₁（3，0），Q₂（-1，0），Q₃（0， ）；
当AB=BQ时，点Q₄（0， ），Q₂（0， ），Q₂（-1，0）；
当AQ=BQ时，点Q₆（0， ），Q₂（-1，0），
综上可得：（0， ），（0， ），（-1，0）（3，0），（0，），
（0， ）