题目

题型：不详难度：来源：

已知关于的方程x²+ax+b=0（b≠0）与x²+cx+d=0都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且ab=cd，则称它们互为“同根轮换方程”．如x²-x-6=0与x²-2x-3=0互为“同根轮换方程”．
（1）若关于x的方程x²+4x+m=0与x²-6x+n=0互为“同根轮换方程”，求m的值；
（2）若p是关于x的方程x²+ax+b=0（b≠0）的实数根，q是关于x的方程x2+2ax+

1

2

b=0的实数根，当p、q分别取何值时，方程x²+ax+b=0（b≠0）与x2+2ax+

1

2

b=0互为“同根轮换方程”，请说明理由．

答案

（1）∵方程x²+4x+m=0与x²-6x+n=0互为“同根轮换方程”，
∴4m=-6n．
设t是公共根，则有t²+4t+m=0，t²-6t+n=0．
解得，t=

n-m

10

．
∵4m=-6n．∴t=-

m

6

．
∴（-

m

6

）²+4（-

m

6

）+m=0．
∴m=-12．

（2）∵x²-x-6=0与x²-2x-3=0互为“同根轮换方程”，
它们的公共根是3．
而3=（-3）×（-1）=-3×（-1）．
又∵x²+x-6=0与x²+2x-3=0互为“同根轮换方程”．
它们的公共根是-3．
而-3=-3×1．
∴当p=q=-3a时，
有9a²-3a²+b=0．
解得，b=-6a²．
∴x²+ax-6a²=0，x²+2ax-3a²=0．
解得，p=-3a，x₁=2a；q=-3a，x₂=a．
∵b≠0，∴-6a²≠0，∴a≠0．
∴2a≠a．即x₁≠x₂．
又∵2a×

1

2

b=ab，…（6分）
∴方程x²+ax+b=0（b≠0）与x²+2ax+

1

2

b=0互为“同根轮换方程”．