题目

题型：解答题难度：一般来源：娄底

已知关于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-

1

2

）=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．
（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．

答案

证明：（1）∵△=（2k-3）²≥0，
∴方程总有实根；
（2）∵两实数根互为相反数，
∴x₁+x₂=2k+1=0，
解得k=-0.5；
（3）①当b=c时，则△=0，
即（2k-3）²=0，
∴k=

3

2

，
方程可化为x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，
而b=c=2，
∴b+c=4=a不适合题意舍去；
②当b=a=4，则4²-4（2k+1）+4（k-

1

2

）=0，
∴k=

5

2

，
方程化为x²-6x+8=0，
解得x₁=4，x₂=2，
∴c=2，
C_△ABC=10，
当c=a=4时，同理得b=2，
∴C_△ABC=10，
综上所述，△ABC的周长为10．