题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（本题满分6分）已知关于x的方程k²x²＋(2k－1)x＋1＝0有两个实数根x₁、x₂
　 (1)求k的取值范围；
(2)是否存在k的值，可以使得这两根的倒数和等于0？如果存在，请求出k，若不存在，请说明理由．

答案

解析

分析：
（1）根据方程由两个不相等的实数根，则有△≥0，可列出不等式，求出k的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可求出x₁+x₂=-（2k-1）/ k²，x₁x₂=1/ k²，再根据题意可得1/ x₁+1/ x₂，把式子进行变形，进行代入可求出k的值。
解答：
（1）（2k-1）²-4k²×1≥0，
解得：k≤1/4，且k²≠0，
∴k≠0，
∴k≤-1/4且k≠0；
（2）不存在，
∵方程有两个的实数根，
∴x₁+x₂=-（2k-1）/ k²，x₁x₂=1/ k²，
∴1/ x₁+1/ x₂=（x₂+x₁）/ x₁x₂=[-（2k-1）/ k²]/（1/ k²）=-2k+1=0，
k=1/2，
∵k≤-1/4
且k≠0；
∴不存在。
点评：此题主要考查了根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，关键是把握准计算公式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中：△=b²-4ac，x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。