题目

题型：解答题难度：一般来源：龙岩

已知：关于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m²+m-2=0．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x₁，x₂满足

1

x1

+

1

x2

=1+

1

m+2

，求m的值．

答案

（1）△=[-（2m+1）]²-4（m²+m-2）．
=4m²+4m+1-4m²-4m+8=9＞0
∴不论m取何值，方程总有两个不相等实数根．

（2）解法一：
根据根与系数的关系有x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-2．
又

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=1+

1

m+2

．
∴

2m+1

m2+m-2

=1+

1

m+2

．
整理得m²=4
解得m₁=2，m₂=-2
经检验m=-2是增根，舍去．
∴m的值为2．
解法二：
由原方程可得[x-（m-1）][x-（m+2）]=0
∴x₁=m+2，x₂=m-1
又∵

1

x1

+

1

x2

=1+

1

m+2

∴

1

m+2

+

1

m-1

=1+

1

m+2

∴m=2
经检验：m=2符合题意．
∴m的值为2．