题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就是通过作差、变形,并利用差的符号确定它们的大小,即要比较代数式M、N的大小,只要作出它们的差M-N,若M-N>0,则M>N;若M-N=0,则M=N;若M-N<0,则M<N.
问题解决
如图1,把边长为a+b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形,试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小.
解:由图可知:M=a2+b2,N=2ab.
∴M-N=a2+b2-2ab=(a-b)2.
∵a≠b,∴(a-b)2>0.
∴M-N>0.
∴M>N.
类比应用
(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为
a+b |
2 |
2ab |
a+b |
(2)试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小(b>c).
联系拓广
小刚在超市里买了一些物品,用一个长方体的箱子“打包”,这个箱子的尺寸如图4所示(其中b>a>c>0),售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑,问哪种方法用绳最短?哪种方法用绳最长?请说明理由.
答案
(1)
a+b |
2 |
2ab |
a+b |
(a+b)2-4ab |
2(a+b) |
(a-b)2 |
2(a+b) |
∵a、b是正数,且a≠b,
∴
(a-b)2 |
2(a+b) |
∴
a+b |
2 |
2ab |
a+b |
∴小丽所购买商品的平均价格比小颖的高;
(2)由图知,M1=2(a+b+c+b)=2a+4b+2c,
N1=2(a-c+b+3c)=2a+2b+4c,
M1-N1=2a+4b+2c-(2a+2b+4c)=2(b-c),
∵b>c,
∴2(b-c)>0,即:M1-N1>0,
∴M1>N1,
∴第一个矩形大于第二个矩形的周长.
联系拓广
设图5的捆绑绳长为L1,则L1=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c,
设图6的捆绑绳长为L2,则L2=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c,
设图7的捆绑绳长为L3,则L3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c,
∵L1-L2=4a+4b+8c-(4a+4b+4c)=4c>0,
∴L1>L2,
∵L3-L2=6a+4b+6c-(4a+4b+4c)=2a+2c>0,
∴L3-L1=6a+4b+6c-(4a+4b+8c)=2(a-c),
∵a>c,
∴2(a-c)>0,
∴L3>L1.
∴第二种方法用绳最短,第三种方法用绳最长.
核心考点
试题【问题提出我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.所谓“作差法”:就】;主要考察你对分式的混合运算等知识点的理解。[详细]
举一反三
a |
a-1 |
1 |
a2-2a+1 |
2 |
1 |
a |
1 |
b |
A.
| B.-
| C.1 | D.-1 |
(1)(1+
1 |
x |
x2-1 |
x |
(2)
a2 |
a-1 |
x2+2x+1 |
x2+x |
1+x2 |
x |
2 |
2+
2 |
3 |
2 |
3 |
3+
3 |
8 |
3 |
8 |
4+
4 |
15 |
4 |
15 |
…
若10+
a |
b |
a |
b |
a2+2ab+b2 |
a-b |
a+b |
a-b |
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