题目

题型：解答题难度：一般来源：期中题

你能比较两个数2009²⁰⁰⁸和2008²⁰⁰⁹的大小吗？为了解决这个问题，我们首先把它抽象成一般形式，即比较（n+1）ⁿ和nⁿ⁺¹的大小（n为自然数），我们分析时从特殊向简单的情形入手，通过对n=1，n=2，n=3，…时的分析，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
（1）计算，比较下列各组数中两个数大小（在空格中填“＞”、“=”、“＜”）1²（       ）2¹，2³（      ）3²，3⁴（       ）4³，4⁵（       ）5⁴，5⁶（      ）6⁵，6⁷（      ）7⁶
（2）从上面的结果进行归纳猜想，nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小关系是：①当n=1和n=2时，（       ）；②当（       ）
（3）根据上面的归纳猜想的规律，试比较2009²⁰⁰⁸和2008²⁰⁰⁹的大小．

答案

解：（1）算出两数的值比较大小得：1²＜2¹，2³＜3²，3⁴＞4³，4⁵＞5⁴，5⁶＞6⁵，6⁷＞7⁶；
（2）由第一问的结果可得出规律：当n=1和n=2时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（3）由第二问的规律得：2009²⁰⁰⁸＜2008²⁰⁰⁹．