题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设x=a+b-c，y=a+c-b，z=b+c-a，其中a，b，c是待定的质数，如果x²=y，

z

-

y

=2，试求积abc的所有可能的值．

答案

因为a+b-c=x，a+c-b=y，b+c-a=z，联立解得
（a，b，c）=（

1

2

(x+y)，

1

2

(x+z)，

1

2

(y+z)）（5分）
又y=x²，于是有：a=

1

2

(x+x2)，（1）
b=

1

2

（x+z），（2）
c=

1

2

(x2+z)，（3）
由（1）解得x=

-1± 1+8a

2

（4）
因x是整数，得1+8a=T²，其中T是正奇数，（10分）
于是，2a=

T-1

2

•

T+1

2

又a是质数，故只能有

T+1

2

=a

T-1

2

=2
所以T=5，a=3．（15分）
代a=3入（4）得x=2，-3
当x=2时，y=x²=4，因而有

z

-2=2，z=16，
代入（2）、（3）得b=9，c=10，与b、c是质数矛盾，应舍去．（20分）
当x=-3时，y=9，

z

-3=2，
所以z=25代入（2）、（3）得b=11，c=17，
故abc=3×11×17=561．（25分）