题目

在三角形ABC中,已知│BC│=2,且(│AB│)/(│AC│)=m,求点A的轨迹方程

提问时间：2022-11-26

答案

由于坐标系没有确定,所以点A的轨迹方程是多种多样的,会因坐标系的不同而不同.
　　在直角坐标系、斜角坐标系、极坐标系中,同一图象的方程是不一样的,还因为原点的选取位置不同,图象的方程也不相同.
下面给出其中的一种情形：
以BC的中点为原点,BC所在直线为x轴、BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
一、当m＝1时,显然有：AB＝AC,∴点A在BC的垂直平分线上,
　　∴A的轨迹方程是x＝0.［点（0,0）除外］
二、当m≠1时,令A的坐标为（x,y）,则：
　　∵｜BC｜＝2,∴B、C的坐标分别是（－1,0）、（1,0）.
　　∴｜AB｜＝√［（x＋1）^2＋y^2］,｜AC｜＝√［（x－1）^2＋y^2］,
　　∴依题意有：｜AB｜＝m｜AC｜,
　　∴√［（x＋1）^2＋y^2］＝m√［（x－1）^2＋y^2］,
　　两边平方,得：（x＋1）^2＋y^2＝m^2（x－1）^2＋m^2y^2,
　　∴x^2＋2x＋1＋y^2＝m^2x^2－2m^2x＋m^2＋m^2y^2,
　　∴（1－m^2）x^2＋（1－m^2）y^2＋2m^2x＝m^2－1.
　　显然,A不在BC上,即y≠0.
　　∴此时A的轨迹方程是圆（1－m^2）x^2＋（1－m^2）y^2＋2m^2x＝m^2－1.［其中y≠0］
综上一、二所述,得：满足条件的点A的轨迹有两种情况,分别是：
1、BC的垂直平分线（BC的中点除外）；
2、圆（圆与BC的交点除外）.