题目
在三角形ABC中,已知│BC│=2,且(│AB│)/(│AC│)=m,求点A的轨迹方程
提问时间:2022-11-26
答案
由于坐标系没有确定,所以点A的轨迹方程是多种多样的,会因坐标系的不同而不同.
在直角坐标系、斜角坐标系、极坐标系中,同一图象的方程是不一样的,还因为原点的选取位置不同,图象的方程也不相同.
下面给出其中的一种情形:
以BC的中点为原点,BC所在直线为x轴、BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
一、当m=1时,显然有:AB=AC,∴点A在BC的垂直平分线上,
∴A的轨迹方程是x=0.[点(0,0)除外]
二、当m≠1时,令A的坐标为(x,y),则:
∵|BC|=2,∴B、C的坐标分别是(-1,0)、(1,0).
∴|AB|=√[(x+1)^2+y^2],|AC|=√[(x-1)^2+y^2],
∴依题意有:|AB|=m|AC|,
∴√[(x+1)^2+y^2]=m√[(x-1)^2+y^2],
两边平方,得:(x+1)^2+y^2=m^2(x-1)^2+m^2y^2,
∴x^2+2x+1+y^2=m^2x^2-2m^2x+m^2+m^2y^2,
∴(1-m^2)x^2+(1-m^2)y^2+2m^2x=m^2-1.
显然,A不在BC上,即y≠0.
∴此时A的轨迹方程是圆(1-m^2)x^2+(1-m^2)y^2+2m^2x=m^2-1.[其中y≠0]
综上一、二所述,得:满足条件的点A的轨迹有两种情况,分别是:
1、BC的垂直平分线(BC的中点除外);
2、圆(圆与BC的交点除外).
在直角坐标系、斜角坐标系、极坐标系中,同一图象的方程是不一样的,还因为原点的选取位置不同,图象的方程也不相同.
下面给出其中的一种情形:
以BC的中点为原点,BC所在直线为x轴、BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
一、当m=1时,显然有:AB=AC,∴点A在BC的垂直平分线上,
∴A的轨迹方程是x=0.[点(0,0)除外]
二、当m≠1时,令A的坐标为(x,y),则:
∵|BC|=2,∴B、C的坐标分别是(-1,0)、(1,0).
∴|AB|=√[(x+1)^2+y^2],|AC|=√[(x-1)^2+y^2],
∴依题意有:|AB|=m|AC|,
∴√[(x+1)^2+y^2]=m√[(x-1)^2+y^2],
两边平方,得:(x+1)^2+y^2=m^2(x-1)^2+m^2y^2,
∴x^2+2x+1+y^2=m^2x^2-2m^2x+m^2+m^2y^2,
∴(1-m^2)x^2+(1-m^2)y^2+2m^2x=m^2-1.
显然,A不在BC上,即y≠0.
∴此时A的轨迹方程是圆(1-m^2)x^2+(1-m^2)y^2+2m^2x=m^2-1.[其中y≠0]
综上一、二所述,得:满足条件的点A的轨迹有两种情况,分别是:
1、BC的垂直平分线(BC的中点除外);
2、圆(圆与BC的交点除外).
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