题目

在三角形ABC中
AB=AC ∠A=20° E为AB上的一点 D为AD上一点
∠CBD=60° ∠ECB=50°
求∠ADE

提问时间：2022-01-27

答案

由已知条件可以得出：∠A=∠ABD=20°,∠BEC=∠BCE=50°则BE=BC,不妨设其为1,即BE=BC=1,在△BCE中,由正弦定理可得到 EC=sin80°/sin50°；在△BCD中,同样可得到 BD=sin80°/sin40°；在△AEC中也可根据正弦定理得到
AE=ECsin30°/sin20°,AC=ECsin130°/sin20°；由上面的数值,下面让我们求两个分式：BE/AE=1/(ECsin30°/sin20°)=2sin20°/EC；BD/AC=[sin80°/sin40°]/[ECsin130°/sin20°]=[2sin40°cos40°/sin40°]/[ECsin50°/sin20°]=2sin20°/EC(其中sin80°=2sin40°cos40°,运用三角函数的正弦倍角公式,sin130°=sin50°=cos40°,然后分别将其约分,整理既得上述结果)；∴BE/AE=BD/AC,则△BED∽△AEC ∴∠EDB=∠ECA=30°又∵∠BDC=40° ∴∠ADE=180°－∠EDC－∠BDC=180°-30°-40°=110°
即∠ADE=110°
（解毕）