题目

已知二次函数y=a(a+1)x^2-(2a+1)x+1.
（1）当此函数的图像与X轴有两个交点时,求a的取值范围；
（2）当a为正整数时,设此函数的图像与X轴相交与A、B两点,求线段AB的长；
（3）若A依次取1,2……,2010时,函数的图像与X轴相交所截得的2010条线段为A1B1,A2B2,......,试求它们的长的和.

提问时间：2022-01-19

答案

1.与X轴有两个交点时,此题即：方程a(a+1)x^2-(2a+1)x+1=0有两不等实根
故应有Δ>0
Δ=B^2-4AC=(2a+1)^2-4*a(a+1)=1>0 恒成立
故a为任意实数
2.此题即求：a(a+1)x^2-(2a+1)x+1=0的两不等实根之差的绝对值
▏X1-X2▕= ▏(-B+√Δ)/2A-▏(-B-√Δ)/2A▕=▏(√Δ)/A▕=1/(a+1)a
故AB长为1/(a+1)a
3.已知A=1,2,3,4……,2010
A1B1=1/(1*2),A2B2=1/(2*3),……
列数列：
A1B1+A2B2+……+A2010B2010
=1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+……+1/(2010*2011)
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/2010-1/2011
=1-1/2011
=2010/2011
得解