题目

有关抛物线的问题
已知抛物线y^2=2px(p>0),过焦点F的弦的倾斜角为θ（θ≠0）,且与抛物线交于A、B.
1,求证|AB|=2p/(sinθ)^2
2,求|AB|的最小值

提问时间：2022-01-13

答案

1,设焦点弦得方程为y=k(x-p/2) k=tanθ
那么设A（x1,y1) B(x2,y2) 则|AB|=x1+x2+p
联立方程有：2px=k^2(x-p/2)^2
展开由韦达定理有：|AB|=2p(k^2+1)/k^2
注意到(k^2+1)/k^2=1/sin^2
于是|AB|=2p/(sinθ)^2 当k不存在,即sinθ=1 有|AB|=2p
验证知其成立.
证毕
2.由sinθ=2p
最小值2p