题目

数列{a_n}和{b_n}适合下列关系式a_n=5a_n-1-6b_n-1，b_n=3a_n-1-4b_n-1，且a₁=a，b₁=b，求通项a_n和b_n．

提问时间：2022-01-10

答案

∵an=5an-1-6bn-1，bn=3an-1-4bn-1，两式相减得，an-bn=2an-1-bn-1∴数列{an-bn}为等比数列，公比为2∴an-bn=（a1-b1）2n-1=（a-b）2n-1∴an=bn+（a-b）2n-1an-1=bn-1+（a-b）2n-2∴bn+（a-b）2n-1=5[bn-1+（a-b）2n...

把题设中的等式相减，求得a_n-b_n=2a_n-1-b_n-1推断出数列{a_n-b_n}为等比数列，公比为2，进而求得数列{a_n-b_n}的通项公式，代入到a_n=5a_n-1-6b_n-1中，整理求得a_n=b_n+（a-b）2^n-1，进而根据a_n=5a_n-1-6b_n-1，求得b_n=-b_n-1+3（a-b）2^n-2，设c_n=b_n-（a-b）2^n-1，推断出c_n=-c_（n-1），判断出数列{c_n}为等比数列，根据首项和公比求得其通项公式，则b_n可得，进而利用a_n=b_n+（a-b）2^n-1求得a_n．

本题考点：数列递推式．

考点点评：本题主要考查了数列的递推式．通过递推式求数列的通项公式是高考中必考的内容，平时应多注意训练．