题目

一袋中装有分别标记着数字1、2、3、4的4个球，若从这只袋中每次取出1个球，取出后放回，连续取三次，设取出的球中数字最大的数为ξ．（1）求ξ=3时的概率；（2）求ξ的概率分布列及数学期望．

提问时间：2022-01-07

答案

（1）ξ=3表示取出的三个球中数字最大者为3，
①三次取球均出现数字为3的概率p1＝(

1

4

)3=

1

64

，
②三次取球中有2次出现数字为3的概率p2＝

C

2 3

(

1

4

)2 (

2

4

)=

6

64

，
③三次取球中有1出现数字为3的概率p3＝

C

1 3

(

1

4

)(

2

4

)2＝

12

64

，
∴p（ξ=3）=p1+p2+p3＝

19

64

．
（2）在ξ=k时，利用（1）的原理知：
p（ξ=k）=(

1

4

)3+

C

2 3

(

1

4

)2(

k−1

4

) +

C

1 3

(

1

4

) (

k−1

4

)2=

3k2−3k+1

64

，k＝1，2，3，4．

（1）ξ=3表示取出的三个球中数字最大者为3，三次取球均出现数字为3的概率p1＝(

1

4

)3=

1

64

，三次取球中有2次出现数字为3的概率p2＝

C

2 3

(

1

4

)2 (

2

4

)=

6

64

，三次取球中有1出现数字为3的概率p3＝

C

1 3

(

1

4

)(

2

4

)2＝

12

64

，由此能求出p（ξ=3）．．
（2）在ξ=k时，利用（1）的原理知p（ξ=k）=(

1

4

)3+

C

2 3

(

1

4

)2(

k−1

4

) +

C

1 3

(

1

4

) (

k−1

4

)2=

3k2−3k+1

64

，k＝1，2，3，4．由此能求出ξ的概率分布列及数学期望．

本题考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．

考点点评：本题考查概率的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意离散型随机变量概率分布列的求法．