题目

设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x⁴-x³+ax+b≤（x²-1）²，则ab等于______．

提问时间：2021-12-26

答案

验证发现，
当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0，
当x=0时，可得0≤b≤1，结合a+b=0可得-1≤a≤0
令f（x）=x⁴-x³+ax+b，即f（1）=a+b=0
又f′（x）=4x³-3x²+a，f′′（x）=12x²-6x，
令f′′（x）＞0，可得x＞

1

2

，则f′（x）=4x³-3x²+a在[0，

1

2

]上减，在[

1

2

，+∞）上增
又-1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0
又x≥0时恒有0≤x⁴-x³+ax+b，结合f（1）=a+b=0知，1必为函数f（x）=x⁴-x³+ax+b的极小值点，也是最小值点
故有f′（1）=1+a=0，由此得a=-1，b=1
故ab=-1
故答案为-1

由题意，x≥0时恒有0≤x⁴-x³+ax+b≤（x²-1）²，考察（x²-1）²，发现当x=1时，其值为0，再对照不等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，再令f（x）=x⁴-x³+ax+b，即f（x）≥0在x≥0恒成立，利用导数研究函数在x≥0的极值，即可得出参数所满足的另一个方程，由此解出参数a，b的值，问题即可得解

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．

考点点评：本题考查函数恒成立的最值问题及导数综合运用题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解，本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，及极值的确定，将问题灵活转化是解题的关键