题目

求棱长为a的正四面体的内切球和外接球的体积之比为（　　）
A. 1：27
B. 1：9
C. 1：3
D. 9：1

提问时间：2021-12-26

答案

设正四面体为PABC，两球球心重合，设为O．
设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，PD⊥底面ABC，且PO=R，OD=r，OD=正四面体PABC内切球的高．
设正四面体PABC底面面积为S．
将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，
可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．
每个正三棱锥体积V₁=

1

3

•S•r 而正四面体PABC体积V₂=

1

3

•S•（R+r）
根据前面的分析，4•V₁=V₂，
所以，4•

1

3

•S•r=

1

3

•S•（R+r），
所以，R=3r
所以棱长为a的正四面体的内切球和外接球的体积之比为1：27．
故选：A．

画出图形，确定两个球的关系，通过正四面体的体积，求出两个球的半径的比值，即可求棱长为a的正四面体的内切球和外接球的体积之比．

本题考点：球的体积和表面积．

考点点评：本题是中档题，考查正四面体的内切球与外接球的关系，找出两个球的球心重合，半径的关系是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．