题目

已知直线l₁为曲线y=x²在点（1，1）处的切线，l₂为该曲线的另一条切线，且l₁⊥l₂．
（1）求直线l₁与l₂的方程；
（2）求直线l₁，l₂与x轴所围成的三角形的面积．

提问时间：2021-12-26

答案

（1）f′（x）=2x，∴f′（1）=2
∴直线l₁的方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1
设l₂与曲线y=x²相切的切点为（x₁，y₁），∵l₁⊥l₂．
∴f′（x₁）=2x₁=-

1

2

，∴x₁=-

1

4

，∴y₁=x₁²=

1

16

，
∴直线l₂的方程为y-

1

16

=-

1

2

（x+

1

4

），即y=-

1

2

x-

1

16

（2）由

y＝2x−1 y＝− 1 2 x− 1 16

得直线l₁与l₂的交点坐标为（

3

8

，-

1

4

），
又直线l₁，l₂与x轴的交点分别为（

1

2

，0），（-

1

8

，0）
∴所求三角形的面积S=

1

2

|

1

2

-（-

1

8

）|×|-

1

4

|=

5

64

．

（1）先求曲线y=x²的导数，则曲线在点（1，1）处的切线斜率为f′（1），再用点斜式求出切线方程即可．因为l₁⊥l₂，可以求出直线l₂的斜率，再根据切线的斜率是曲线在切点处的导数，就可求出直线l₂与曲线你相切的切点坐标，利用点斜式求出切线方程．
（2）分别求出直线l₁，l₂的交点坐标，直线l₁与x轴的交点坐标，直线l₂与x轴的交点坐标，就可用三角形的面积公式求出直线l₁，l₂与x轴所围成的三角形的面积．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程．

考点点评：本题主要考查曲线的切线斜率与曲线在切点处的导数的关系，直线方程的求法，以及直线交点的求法，属于直线方程的综合题．