题目

如图，AB是⊙O的直径，P是AB的延长线上的一点，PC切⊙O于点C，⊙O的半径为3，∠PCB=30度．

（1）求∠CBA的度数；（2）求PA的长．

提问时间：2021-12-25

答案

（1）∵PC切⊙O于点C，
∴∠BAC=∠PCB=30°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠CBA=60°．
（2）∵∠P=∠CBA-∠PCB=60°-30°=∠PCB，
∴PB=BC，
又∵BC=

1

2

AB=

1

2

×6=3，
∴PA=PB+AB=BC+AB=9．

（1）根据弦切角定理得到∠A=∠PCB=30°，根据直径所对的圆周角是直角求得∠ACB=90°，从而求得∠CBA的度数；
（2）能够根据角的度数发现等腰三角形ACP，根据30°的直角三角形由AB的长求得BC的长，从而得到PB的长，最后求得PA的长．

本题考点：切线的性质；圆周角定理．

考点点评：此题综合运用弦切角定理、圆周角定理的推论以及三角形的外角的性质发现30°的直角三角形和等腰三角形．