题目

已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AD，M、N分别是AB、PC的中点，求证：

（1）MN∥平面PAD；           
（2）平面PMC⊥平面PDC．

提问时间：2021-12-24

答案

证明：（1）设PD的中点为Q，连接AQ、NQ，由N为PC的中点知QN∥DC且QN=12DC，又ABCD是矩形，∴DC∥AB，DC=12AB，又M是AB的中点，∴QN∥AM，QN=AM，∴AMNQ是平行四边形，∴MN∥AQ，而AQ⊂平面PAD，NM⊄平面PAD，∴MN∥...

（1）欲证MN∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面PAD内一直线平行即可，设PD的中点为Q，连接AQ、NQ，易证AMNQ是平行四边形，则MN∥AQ，而AQ⊂平面PAD，NM⊄平面PAD，满足定理所需条件；
（2）欲证平面PMC⊥平面PCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面PMC内一直线与平面PCD垂直，而AQ⊥PD，CD⊥AQ，PD∩CD=D，根据线面垂直的判定定理可知AQ⊥平面PCD，而MN∥AQ，则MN⊥平面PCD，又MN⊂平面PMC，满足定理所需条件．

本题考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

考点点评：本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及线面平行的判定，同时考查了空间想象能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．