题目

已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点M，AN平分∠DAC，交BC于点N．
求证：四边形AMNE是菱形．

提问时间：2021-12-23

答案

证明：∵AD⊥BC，∴∠BDA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠C=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠C，∵AN平分∠DAC，∴∠CAN=∠DAN，∵∠BAN=∠BAD+∠DAN，∠BNA=∠C+∠CAN，∴∠BAN=∠BNA，∵BE平分∠ABC，∴BE⊥AN...

由已知∠BAC=90°，AD⊥BC得到∠BAD=∠C，利用三角形的外角性质推出∠BAN=∠BNA，即BE⊥AN，OA=ON，同理OM=OE，即可推出答案．

本题考点：菱形的判定；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定．

考点点评：本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等知识点，解此题的关键是证出△ABN是等腰三角形，利用三线合一证出OA=ON．