题目
已知正方形ABCD的边长为a,两条对角线AC、BD相交于点O,P是射线AB上任意一点,过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF,垂足为E、F.
(1)如图1,当P点在线段AB上时,求PE+PF的值.
(2)如图2,当P点在线段AB的延长线上时,求PE-PF的值.
(1)如图1,当P点在线段AB上时,求PE+PF的值.
(2)如图2,当P点在线段AB的延长线上时,求PE-PF的值.
提问时间:2021-12-22
答案
(1)∵ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,
∵PF⊥BD,
∴PF∥AC,同理PE∥BD,
∴四边形PFOE为矩形,故PE=OF.
又∵∠PBF=∠BPF=45°,
∴PF=BF.
∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=
a.
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,
∵PF⊥BF,
∴PF∥AC,同理PE∥BD,
∴四边形PFOE为矩形,故PE=OF.
又∵∠PBF=∠OBA=45°,
∴PF=BF.
又∵BC=a,
∴PE-PF=OF-BF=OB=BCcos45°=acos45°=
a.
∴AC⊥BD,
∵PF⊥BD,
∴PF∥AC,同理PE∥BD,
∴四边形PFOE为矩形,故PE=OF.
又∵∠PBF=∠BPF=45°,
∴PF=BF.
∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=
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(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,
∵PF⊥BF,
∴PF∥AC,同理PE∥BD,
∴四边形PFOE为矩形,故PE=OF.
又∵∠PBF=∠OBA=45°,
∴PF=BF.
又∵BC=a,
∴PE-PF=OF-BF=OB=BCcos45°=acos45°=
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(1)因为ABCD是正方形,所以对角线互相垂直,又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF,垂足为E、F,所以可证明四边形PFOE是矩形,从而求出解.
(2)因为四边形ABCD是正方形,所以对角线互相垂直,又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF,垂足为E、F,所以可证明四边形PFOE是矩形,从而求出解.
(2)因为四边形ABCD是正方形,所以对角线互相垂直,又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF,垂足为E、F,所以可证明四边形PFOE是矩形,从而求出解.
正方形的性质;矩形的判定与性质;解直角三角形.
本题考查正方形的性质,正方形的对角线互相垂直且平分每一组对角,四边相等,四个角都是直角,以及矩形的判定和性质解直角三角形等.
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