题目

如图，在矩形ABCD中，AF、BE、CE、DF分别是矩形的四个角的角平分线，E、M、F、N是其交点，求证：四边形EMFN是正方形．

提问时间：2021-12-21

答案

证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴四个内角均为90°，
∵AF，BE，CE，DF分别是四个内角的平分线，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∴△EBC为等腰直角三角形，
∴∠E=90°，
同理∠F=∠EMF=∠ENF=90°，
∴四边形MFNE为矩形，
∵AD=BC，∠E=∠F=90°，∠DAF=∠EBC=45°，
∴△DAF≌△CBE（AAS）
∴AF=BE，
∵AM=BM，
∴AF-AM=BE-BM，即FM=EM，
∴四边形MFNE是正方形．

首先根据已知条件证明四边形EMFN是矩形，再根据正方形的判定：邻边相等的矩形是正方形即证明FM=EM即可．

本题考点：正方形的判定；矩形的性质．

考点点评：本题考查了矩形的性质和判定、角平分线的性质等腰直角三角形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是对特殊的几何图形的判定和性质要熟练掌握．