题目
如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD丄PA,垂足为D.
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的长度.
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的长度.
提问时间:2021-12-20
答案
(1)证明:连接OC,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∵AC平分∠PAE,
∴∠DAC=∠CAO,
∴∠DAC=∠OCA,
∴PB∥OC,
∵CD⊥PA,
∴CD⊥OC,CO为⊙O半径,
∴CD为⊙O的切线;
(2)过O作OF⊥AB,垂足为F,
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°,
∴四边形DCOF为矩形,
∴OC=FD,OF=CD.
∵DC+DA=6,
设AD=x,则OF=CD=6-x,
∵⊙O的直径为10,
∴DF=OC=5,
∴AF=5-x,
在Rt△AOF中,由勾股定理得AF2+OF2=OA2.
即(5-x)2+(6-x)2=25,
化简得x2-11x+18=0,
解得x1=2,x2=9.
∵CD=6-x大于0,故x=9舍去,
∴x=2,
从而AD=2,AF=5-2=3,
∵OF⊥AB,由垂径定理知,F为AB的中点,
∴AB=2AF=6.
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∵AC平分∠PAE,
∴∠DAC=∠CAO,
∴∠DAC=∠OCA,
∴PB∥OC,
∵CD⊥PA,
∴CD⊥OC,CO为⊙O半径,
∴CD为⊙O的切线;
(2)过O作OF⊥AB,垂足为F,
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°,
∴四边形DCOF为矩形,
∴OC=FD,OF=CD.
∵DC+DA=6,
设AD=x,则OF=CD=6-x,
∵⊙O的直径为10,
∴DF=OC=5,
∴AF=5-x,
在Rt△AOF中,由勾股定理得AF2+OF2=OA2.
即(5-x)2+(6-x)2=25,
化简得x2-11x+18=0,
解得x1=2,x2=9.
∵CD=6-x大于0,故x=9舍去,
∴x=2,
从而AD=2,AF=5-2=3,
∵OF⊥AB,由垂径定理知,F为AB的中点,
∴AB=2AF=6.
(1)连接OC,根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°,再根据角平分线的性质,得∠DCO=90°,则CD为⊙O的切线;
(2)过O作OF⊥AB,则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°,得四边形OCDF为矩形,设AD=x,在Rt△AOF中,由勾股定理得(5-x)2+(6-x)2=25,从而求得x的值,由勾股定理得出AB的长.
(2)过O作OF⊥AB,则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°,得四边形OCDF为矩形,设AD=x,在Rt△AOF中,由勾股定理得(5-x)2+(6-x)2=25,从而求得x的值,由勾股定理得出AB的长.
切线的判定与性质;勾股定理;矩形的判定与性质;垂径定理.
本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理,是基础知识要熟练掌握.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 1新概念英语2同步测试卷11
- 2【你是什么时候把书还给图书馆的?】用英语怎么说?填空题
- 3写出数列1,2/3,3/5,4/7,…的一个通项公式,并判断它的增减性.
- 4能否在圆周上放置0123456789十个数 使得任意两个相邻数之差的绝对值为3或4或5
- 5烟笼寒水月笼沙 这首诗描绘了一副怎样的画面
- 6英语翻译
- 7100度是水有多热?
- 8甲乙从400m的环形跑道上一点A背向同时出发,8分钟后两人第三次相遇,已知每秒甲比乙多行0.1m,
- 9ANOVA 中contrast coding指的是什么?orthogonal contrast weights又是指什么?都有什么意义啊
- 10如果{x-1}的x+2次幂=(x-1)的2x+6次幂.求X的值.
热门考点
- 1等腰梯形对角线为6,且两条对角线的一交角为60°,则梯形的面积
- 22x+5=9 x=?
- 3对对子 粗茶淡饭对?指鹿为马对?雪中送炭对?流芳百世对?精雕细刻对?伶牙俐齿对?
- 4“我给你5分钟时间”英语怎么说
- 5三合瓦厂第一季度用电200度,比第二季度多用电4分之1,第二季度又比第三季度少5分之1,第三季度用电多少度
- 6整式 乘除练习题
- 7I can sing well.(用dance改为选择疑问句)
- 8绝对值不大于5的非负整数是_.
- 9we were impressed by the ease with which the information could be found中的
- 10城市里的清洁工通常是按小时取得报酬的(by the hour) (pay)怎样翻译