题目

复数题：如果存在f（X）其指数都是实数,且a,b 属于R 如果f（a+bi）=0证明f（a-bi）=0

提问时间：2021-12-17

答案

设函数f(x)=an*x^kn+an-1*x^kn-1+.+a1*x^k1+a0,ai表示指数为ki时的系数,ki表示大到小排列的实数指数.
由于对于任意的a+bi都存在t,使得:根号(a^2+b^2)*(cosm+isinm)=a+bi,m=arctan(b/a),为了方便运算,令根号(a^2+b^2)=t
那么f(a+bi)=f(t(cosm+isinm))=an*(t(cosm+isinm))^kn.
=an*t^kn(cosknm+isinknm).
整理有
原式=(an*t^kn(cosknm).+a1*t^k1(cosk1m)+a0)+i(an*t^kn(sinknm)+.+a1*t^k1*(sink1m))=0
前者为实部,后者为虚部,因为函数值为零,所以实部虚部都为0,而同理其共轭a-bi=t(cosm-isinm),带入可算出其值为零