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题目
设函数f(x)=x(e^x-1)-ax² a属于R
1.若a=1/2 求f(x)的单调增区间 (这步我已经写出来了,主要求解第二步)
2.若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.

提问时间:2021-12-17

答案
第二个问题:
∵f(x)=x(e^x-1)-ax^2,∴f(0)=0.
∴f(x)≧0在区间[0,+∞)上恒成立,∴需要:f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.
∴需要:f′(x)=e^x-1+xe^x-2ax>0.
∵f′(0)=0,∴需要f′(x)在区间[0,+∞)上是增函数.
∴需要:f″(x)=e^x+e^x+xe^x-2a=2e^x+xe^x-2a>0.······①
令g(x)=2e^x+xe^x,则:
g′(x)=2e^x+e^x+xe^x=3e^x+xe^x,g″(x)=3e^x+e^x+xe^x=4e^x+xe^x.
显然,在区间[0,+∞)上,g′(x)>0、g″(x)>0,∴在g′(x)=0时,g(x)有最小值.
令g′(x)=0,得:3e^x+xe^x=0,∴x=-3,∴g(-3)=2/e^3-3/e^3=-1/e^3.
∴g(x)=2e^x+xe^x的最小值是-1/e^3.
∴要使①恒成立,就需要:-2a<-1/e^3,∴2a>1/e^3,∴a>1/(2e^3).
∴满足条件的a的取值范围是(1/(2e^3),+∞).
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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