题目

某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=

购地总费用

建筑总面积

）

提问时间：2021-12-17

答案

方法1：导数法
设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，
则f(x)＝(560+48x)+

2160×10000

2000x

＝560+48x+

10800

x

（x≥10，x∈Z⁺）
f′(x)＝48−

10800

x2

，
令f'（x）=0得x=15
当x＞15时，f'（x）＞0；当0＜x＜15时，f'（x）＜0
因此当x=15时，f（x）取最小值f（15）=2000；
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．
方法2：（本题也可以使用基本不等式求解）
设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，
则f(x)＝(560+48x)+

2160×10000

2000x

＝560+48x+

10800

x

≥560+2

48x• 10800 x

＝2000，
当且进行48x＝

10800

x

，即x=15时取等号．
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．

先设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，根据题意写出综合费f（x）关于x的函数解析式，再利用导数研究此函数的单调性，进而得出它的最小值即可．

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；实际问题中导数的意义．

考点点评：本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．