题目

函数f（x）=ax³-bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值-

4

3

．若关于x的方程f（x）=k有三个根，则实数k的取值范围______．

提问时间：2021-12-10

答案

当x=2时，函数f（x）有极值-

4

3

．
则f（2）=-

4

3

，且f′（2）=0．
∵f（x）=ax³-bx+4，
∴f′（x）=3ax²-b，
则

8a−2b+4＝− 4 3 12a−b＝0

，
解得

a＝ 1 3 b＝4

，即f（x）=

1

3

x³-4x+4，f′（x）=x²-4，
当f′（x）＞0得x＞2或x＜-2，此时函数单调递增，
当f′（x）＜0得-2＜x＜2，此时函数单调递减，
即当x=-2时，函数取得极大值f（-2）=

28

3

，
当x=2时，函数f（x）有极小值-

4

3

．
要使关于x的方程f（x）=k有三个根，
则-

4

3

＜k＜

28

3

，
故答案为：（-

4

3

，

28

3

）．

根据函数的极值，求出a，b，从而确定函数f（x）的表达式，求出函数的极值，利用数形结合即可得到结论．

本题考点：利用导数研究函数的极值．

考点点评：本题主要考查函数极值的应用和判断，利用方程和函数之间的关系，结合数形结合是解决本题的关键．